Matrizes

O que é uma equação linear?

Sistemas lineares são equações matemáticas que possuem 1 ou mais incógnitas, todas elas com expoente igual a 1. Por exemplo:

$2 x + 5 y = 18$

Equações com 2 incógnitas resultam em uma função afim e equações com 3 incógnitas resultam em gráficos 3D.

O que são sistemas lineares?

Sistemas lineares são a junção de 2 ou mais equações lineares com variáveis de mesmo valor.

Temos 3 tipos de sistemas lineares:
Determinado: apresenta apenas um valor de interseção das retas.
Indeterminado: as retas de cruzam em todos os pontos (estão sobrepostas).
Impossível: as retas não se cruzam.

Como resolver sistemas de equações?

Podemos resolvê-los por 2 métodos principais: substituição ou adição

Método da substituição

O método da substituição é pegar uma das equações e isolar uma das incógnitas. Por exemplo:

$Sistema: {\begin{matrix} 2 x + 3 y = 12 \\ x - y = 1 \end{matrix} Resolução: Isolando o x da equação 2: x = y + 1 Substituindo na primeira equação: 2 (y + 1) + 3 y = 12 Assim temos: y = 2 Substituindo em x = y + 1 : x = 2 + 1 x = 3 Solução em par ordenado (x, y): = (3, 2)$

Método da Adição

Consiste em igualar o coeficiente de uma das incógnitas para poder cancelá-la com a outra equação. Normalmente multiplicamos a equação de cima ou de baixo por um numero que iguale as incógnitas e depois fazemos uma soma das duas equações. Por exemplo:

$Sistema: {\begin{matrix} 2 x + 3 y = 12 \\ x - y = 1 \end{matrix} Multiplicando a segunda equação por 2: 2 x - 2 y = 2 Subtraindo a segunda da primeira: (2 x + 3 y) - (2 x - 2 y) = (12 - 2) 5 y = 10 y = 2 Substituindo na segunda equação original: x - 2 = 1 x = 3 Solução: (3, 2)$

Os dois exemplos acima são de sistemas com soluções SP (determinadas), mas podemos também ter sistemas SPI (indeterminados) e SI (Impossíveis). Podemos determinar de 2 formas o tipo de sistema.

Utilizando o determinante de uma matriz: colocar os coeficientes da equação em uma matriz e calcular seu determinante, se for igual a 0 pode ser SPI ou SI e se for diferente de 0 é SPD.

Realizando um dos métodos de rersolução (Adição ou substituição): Se ao fizermos a conta acharmos 0=0 o sistema é SPI, se acharmos numeros diferentes se igualando (como 0 = -11) o sistema é SI, caso o sistema for SPD não teremos dificuldades em resolvê-lo.