Portfólio de Matemática

O que é?

Determinante é uma forma de representar uma matriz por apenas um número. Porém, isso só pode ser fieto em raizes quadradas (matrizes que apresentam mesmo número de linhas e colunas). Podemos representar um determinante colocando a matriz entre | | ou det(A).

Determinante de uma matriz 1x1

A determinante de uma matriz 1x1 é o número da matriz. Ex:

$$\left[\begin{array}{c}-6\end{array}\right]=-6$$

Determinante de uma matriz 2x2

Para matrizes 2x2 o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto da diagonal secundária. Ex:

$$\left[\begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 7\end{array}\right]\text{→}\mid \begin{array}{cc}3& 5\\ 2& 7\end{array}\mid =3\times 7-(5\times 2)=11$$

Determinante de uma matriz 3x3

Agora as coisas complicam um pouco, para calcularmos uma matriz 3x3 precisamos de um pouco mais de trabalho. Primeiro, devemos repetir as duas primeiras colunas à direita da matriz. Depois, devemos multiplicar os elementos da diagonal principal (eaquerda para direita) e somar os resultados. Por fim, devemos multiplicar os elementos da diagonal secundária (direita para esquerda) e somar os resultados, depois fazemos o resultado da diagonal principal menos o da secundária. Ex:

Fonte: https://matematicabasica.net/matrizes-e-determinantes/

Exemplo:

Fonte: https://www.youtube.com/watch?v=vnZtkgwUpzo

Matrizes maiores que 3x3

Aqui é o ponto mais complicado dessa matéria. Para calcular os determinantes de matrizes 4x4, 5x5, etc... Devemos usar a Regra de Chió, que consiste em: Deixar o primeiro elemento da matriz (a11) valendo um, traçar um risco horizontal e vertical, como se estivessimos colocando os elementos da primeira linha e coluna em evidencia e, por fim, fazer o número de dentro da matriz 3x3 criada menos o produto do numero de cima da coluna pelo do lado da linha. Ex:

Depois disso, basta calcular o determinante da matriz 3x3 criada.

1ª Coluna da 4x4

Caso a primeira coluna da matriz 4x4 seja diferente de 1, podemos dividi-la por um número que a torne igual a 1, ou substitui-la por outra coluna (ao lado) que tenha o primeiro elemento igual a 1. Caso optarmos por dividir, devemos multiplicar o determinante pelo numero dividido, caso tenhamos substituido as colunas devemos alterar o sinal.

Propriedades dos determinantes

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  1. Quando temos uma fila (linha ou coluna) zerada numa matriz, seu determinante será zero.
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  2. Quando temos duas filas paralelas iguais numa matriz, seu determinante será zero.
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  3. Quando temos duas filas paralelas proporcionais numa matriz, seu determinante será zero
• 
  4. O determinante de uma matriz M e de sua transposta 𝑀𝑇 são iguais. det(A) = det(Aᵗ).
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  5. Se uma linha ou coluna for multiplicada por um escalar k, o determinante é multiplicado por k.
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  6. Se multiplicamos toda uma matriz de ordem 𝑛 por 𝑘, o determinante da nova matriz ficará multiplicado por 𝑘ⁿ.
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  7. Se uma linha ou coluna for movida o determinante muda o sinal.
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  8. Sendo A e B duas matrizes quadradas de mesma ordem e AB o seu produto, o determinante de AB será igual ao produto dos determinantes de A e B. det(AB) = det(A) × det(B).
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  9. O determinante de uma matriz triangular é o produto dos elementos da diagonal principal.

Questões

(JVL Concursos) Seja a matriz M, determine seu determinante.

Questão 2

Determine o determinante da matriz D:

Nessa questão basta aplicarmos a regra de sarrus e depois aplicar a regra de chió.

Questão 3

(FGV 2022) Seja A uma matriz 4x4 cujo determinante é igual a 2. O determinante da matriz 3A é igual a:

Nessa questão podemos aplicar a propriedade 6, que diz que se multiplicarmos uma matriz por um número, seu determinante será multiplicado pelo número elevado a ordem da matriz.